{l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2bని జోడించండి.

$$a+2b=15$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2aని జోడించండి.

$$2a-5b+2a=15$$

4aని పొందడం కోసం 2a మరియు 2aని జత చేయండి.

$$4a-5b=15$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$a+2b=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a=-2b+15$$

మరొక సమీకరణములో aను -2b+15 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

4 సార్లు -2b+15ని గుణించండి.

$$-8b+60-5b=15$$

-5bకు -8bని కూడండి.

$$-13b+60=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 60ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-13b=-45$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15లో bను \frac{45}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

-2 సార్లు \frac{45}{13}ని గుణించండి.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

-\frac{90}{13}కు 15ని కూడండి.

$$a=\frac{105}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2bని జోడించండి.

$$a+2b=15$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2aని జోడించండి.

$$2a-5b+2a=15$$

4aని పొందడం కోసం 2a మరియు 2aని జత చేయండి.

$$4a-5b=15$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2bని జోడించండి.

$$a+2b=15$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2aని జోడించండి.

$$2a-5b+2a=15$$

4aని పొందడం కోసం 2a మరియు 2aని జత చేయండి.

$$4a-5b=15$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a మరియు 4aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4a-5b=15ని 4a+8b=60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

-4aకు 4aని కూడండి. 4a మరియు -4a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8b+5b=60-15$$

5bకు 8bని కూడండి.

$$13b=60-15$$

-15కు 60ని కూడండి.

$$13b=45$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15లో bను \frac{45}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

-5 సార్లు \frac{45}{13}ని గుణించండి.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{225}{13}ని కూడండి.

$$4a=\frac{420}{13}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$a=\frac{105}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$