{l}{a+b=4}{2a-b=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$a+b=4,2a-b=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$a+b=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a=-b+4$$

మరొక సమీకరణములో aను -b+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2a-b=1.

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

2 సార్లు -b+4ని గుణించండి.

$$-2b+8-b=1$$

-bకు -2bని కూడండి.

$$-3b+8=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3b=-7$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$b=\frac{7}{3}$$

a=-b+4లో bను \frac{7}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

-\frac{7}{3}కు 4ని కూడండి.

$$a=\frac{5}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$a+b=4,2a-b=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$a+b=4,2a-b=1$$

a మరియు 2aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2a-b=1ని 2a+2b=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

-2aకు 2aని కూడండి. 2a మరియు -2a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2b+b=8-1$$

bకు 2bని కూడండి.

$$3b=8-1$$

-1కు 8ని కూడండి.

$$3b=7$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$b=\frac{7}{3}$$

2a-b=1లో bను \frac{7}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{3}ని కూడండి.

$$2a=\frac{10}{3}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$a=\frac{5}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$