{l}{8x-3y=3}{5x-2y=-1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 3 } \\ { 5 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=9$$

$$y=23$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x-3y=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$8x=3y+3$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+3\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు 3+3yని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{8}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3+3y}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-2y=-1.

$$5\left(\frac{3}{8}y+\frac{3}{8}\right)-2y=-1$$

5 సార్లు \frac{3+3y}{8}ని గుణించండి.

$$\frac{15}{8}y+\frac{15}{8}-2y=-1$$

-2yకు \frac{15y}{8}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{8}y+\frac{15}{8}=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{8}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{23}{8}$$

రెండు వైపులా -8తో గుణించండి.

$$y=23$$

x=\frac{3}{8}y+\frac{3}{8}లో yను 23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{8}\times 23+\frac{3}{8}$$

\frac{3}{8} సార్లు 23ని గుణించండి.

$$x=\frac{69+3}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{69}{8}కు \frac{3}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=9,y=23$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{8}{8\left(-2\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 3-3\left(-1\right)\\5\times 3-8\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\23\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=9,y=23$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x-3y=3,5x-2y=-1$$

8x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 3,8\times 5x+8\left(-2\right)y=8\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$40x-15y=15,40x-16y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 40x-16y=-8ని 40x-15y=15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x-40x-15y+16y=15+8$$

-40xకు 40xని కూడండి. 40x మరియు -40x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-15y+16y=15+8$$

16yకు -15yని కూడండి.

$$y=15+8$$

8కు 15ని కూడండి.

$$y=23$$

5x-2y=-1లో yను 23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-2\times 23=-1$$

-2 సార్లు 23ని గుణించండి.

$$5x-46=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 46ని కూడండి.

$$5x=45$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=9,y=23$$