{l}{6x-y=4}{4x-5y=-6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - y = 4 } \\ { 4 x - 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x-y=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$6x=y+4$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు y+4ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{6}+\frac{2}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x-5y=-6.

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}\right)-5y=-6$$

4 సార్లు \frac{y}{6}+\frac{2}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-5y=-6$$

-5yకు \frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{8}{3}=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{26}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{13}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=2$$

x=\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{6} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{3}కు \frac{2}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&-\frac{1}{26}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 4-\frac{1}{26}\left(-6\right)\\\frac{2}{13}\times 4-\frac{3}{13}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x-y=4,4x-5y=-6$$

6x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$4\times 6x+4\left(-1\right)y=4\times 4,6\times 4x+6\left(-5\right)y=6\left(-6\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24x-4y=16,24x-30y=-36$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24x-30y=-36ని 24x-4y=16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x-24x-4y+30y=16+36$$

-24xకు 24xని కూడండి. 24x మరియు -24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-4y+30y=16+36$$

30yకు -4yని కూడండి.

$$26y=16+36$$

36కు 16ని కూడండి.

$$26y=52$$

రెండు వైపులా 26తో భాగించండి.

$$y=2$$

4x-5y=-6లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-5\times 2=-6$$

-5 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$4x-10=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10ని కూడండి.

$$4x=4$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$