{l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x-5y=-36$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$6x=5y-36$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు 5y-36ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5y}{6}-6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -7x+2y=39.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

-7 సార్లు \frac{5y}{6}-6ని గుణించండి.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

2yకు -\frac{35y}{6}ని కూడండి.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 42ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{23}{6}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{18}{23}$$

x=\frac{5}{6}y-6లో yను \frac{18}{23} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{6} సార్లు \frac{18}{23}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

\frac{15}{23}కు -6ని కూడండి.

$$x=-\frac{123}{23}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

6x మరియు -7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -42x+12y=234ని -42x+35y=252 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

42xకు -42xని కూడండి. -42x మరియు 42x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$35y-12y=252-234$$

-12yకు 35yని కూడండి.

$$23y=252-234$$

-234కు 252ని కూడండి.

$$23y=18$$

రెండు వైపులా 23తో భాగించండి.

$$y=\frac{18}{23}$$

-7x+2y=39లో yను \frac{18}{23} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

2 సార్లు \frac{18}{23}ని గుణించండి.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{36}{23}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=-\frac{123}{23}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$