{l}{6b+8=a}{a+b+6=109} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 6 b + 8 = a } \\ { a + b + 6 = 109 } \end{array} \right.$$

b, aని పరిష్కరించండి

$$b = \frac{95}{7} = 13\frac{4}{7} \approx 13.571428571$$

$$a = \frac{626}{7} = 89\frac{3}{7} \approx 89.428571429$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6b+8-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$6b-a=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=109-6$$

103ని పొందడం కోసం 6ని 109 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=103$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6b-a=-8,b+a=103$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న bని వేరు చేయడం ద్వారా bని పరిష్కరించండి.

$$6b-a=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా aని కూడండి.

$$6b=a-8$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$b=\frac{1}{6}\left(a-8\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు a-8ని గుణించండి.

$$b=\frac{1}{6}a-\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో bను \frac{a}{6}-\frac{4}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, b+a=103.

$$\frac{1}{6}a-\frac{4}{3}+a=103$$

aకు \frac{a}{6}ని కూడండి.

$$\frac{7}{6}a-\frac{4}{3}=103$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{3}ని కూడండి.

$$\frac{7}{6}a=\frac{313}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{6}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$a=\frac{626}{7}$$

b=\frac{1}{6}a-\frac{4}{3}లో aను \frac{626}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$b=\frac{1}{6}\times \frac{626}{7}-\frac{4}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{6} సార్లు \frac{626}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$b=\frac{313}{21}-\frac{4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{313}{21}కు -\frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$b=\frac{95}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$b=\frac{95}{7},a=\frac{626}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6b+8-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$6b-a=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=109-6$$

103ని పొందడం కోసం 6ని 109 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=103$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6b-a=-8,b+a=103$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{6-\left(-1\right)}&\frac{6}{6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\103\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-8\right)+\frac{1}{7}\times 103\\-\frac{1}{7}\left(-8\right)+\frac{6}{7}\times 103\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{95}{7}\\\frac{626}{7}\end{matrix}\right)$$

b మరియు a మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$b=\frac{95}{7},a=\frac{626}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6b+8-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$6b-a=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=109-6$$

103ని పొందడం కోసం 6ని 109 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=103$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6b-a=-8,b+a=103$$

6b మరియు bని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$6b-a=-8,6b+6a=6\times 103$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6b-a=-8,6b+6a=618$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6b+6a=618ని 6b-a=-8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6b-6b-a-6a=-8-618$$

-6bకు 6bని కూడండి. 6b మరియు -6b విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-a-6a=-8-618$$

-6aకు -aని కూడండి.

$$-7a=-8-618$$

-618కు -8ని కూడండి.

$$-7a=-626$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$a=\frac{626}{7}$$

b+a=103లో aను \frac{626}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$b+\frac{626}{7}=103$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{626}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$b=\frac{95}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$b=\frac{95}{7},a=\frac{626}{7}$$