{l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=13$$

$$y=17$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-14-3y=0$$

రెండు వైపులా 14ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$5x-3y=14$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

35ని 7తో భాగించి 5ని పొందండి.

$$3x-2y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-3y=14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$5x=3y+14$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు 3y+14ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y+14}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

3 సార్లు \frac{3y+14}{5}ని గుణించండి.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

-2yకు \frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{42}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

రెండు వైపులా -5తో గుణించండి.

$$y=17$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}లో yను 17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

\frac{3}{5} సార్లు 17ని గుణించండి.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{51}{5}కు \frac{14}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=13,y=17$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-14-3y=0$$

రెండు వైపులా 14ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$5x-3y=14$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

35ని 7తో భాగించి 5ని పొందండి.

$$3x-2y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=13,y=17$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-14-3y=0$$

రెండు వైపులా 14ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$5x-3y=14$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

35ని 7తో భాగించి 5ని పొందండి.

$$3x-2y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

5x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x-10y=25ని 15x-9y=42 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9y+10y=42-25$$

10yకు -9yని కూడండి.

$$y=42-25$$

-25కు 42ని కూడండి.

$$y=17$$

3x-2y=5లో yను 17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-2\times 17=5$$

-2 సార్లు 17ని గుణించండి.

$$3x-34=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 34ని కూడండి.

$$3x=39$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=13,y=17$$