{l}{5x+y=8}{2y+x=5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 8 } \\ { 2 y + x = 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y = \frac{17}{9} = 1\frac{8}{9} \approx 1.888888889$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+y=8,x+2y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+y=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-y+8$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+8\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -y+8ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+8}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+2y=5.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}+2y=5$$

2yకు -\frac{y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{9}{5}y+\frac{8}{5}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{9}{5}y=\frac{17}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{17}{9}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}లో yను \frac{17}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{17}{9}+\frac{8}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{5} సార్లు \frac{17}{9}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{17}{45}+\frac{8}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{17}{45}కు \frac{8}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{11}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{17}{9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+y=8,x+2y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-1}&-\frac{1}{5\times 2-1}\\-\frac{1}{5\times 2-1}&\frac{5}{5\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 5\\-\frac{1}{9}\times 8+\frac{5}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\\frac{17}{9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{17}{9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+y=8,x+2y=5$$

5x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$5x+y=8,5x+5\times 2y=5\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5x+y=8,5x+10y=25$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x+10y=25ని 5x+y=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-5x+y-10y=8-25$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$y-10y=8-25$$

-10yకు yని కూడండి.

$$-9y=8-25$$

-25కు 8ని కూడండి.

$$-9y=-17$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=\frac{17}{9}$$

x+2y=5లో yను \frac{17}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+2\times \frac{17}{9}=5$$

2 సార్లు \frac{17}{9}ని గుణించండి.

$$x+\frac{34}{9}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{34}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{11}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{17}{9}$$