{l}{5x+4y=8}{2x-3y=17} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+4y=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-4y+8$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+8\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -4y+8ని గుణించండి.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-4y+8}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x-3y=17.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=17$$

2 సార్లు \frac{-4y+8}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{16}{5}-3y=17$$

-3yకు -\frac{8y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{16}{5}=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{16}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{23}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-3$$

x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-3\right)+\frac{8}{5}$$

-\frac{4}{5} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{12}{5}కు \frac{8}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 8+\frac{4}{23}\times 17\\\frac{2}{23}\times 8-\frac{5}{23}\times 17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

5x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 8,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 17$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+8y=16,10x-15y=85$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x-15y=85ని 10x+8y=16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+8y+15y=16-85$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y+15y=16-85$$

15yకు 8yని కూడండి.

$$23y=16-85$$

-85కు 16ని కూడండి.

$$23y=-69$$

రెండు వైపులా 23తో భాగించండి.

$$y=-3$$

2x-3y=17లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x-3\left(-3\right)=17$$

-3 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$2x+9=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=-3$$