{l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+3y=460$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-3y+460$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -3y+460ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{5}+92 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

3 సార్లు -\frac{3y}{5}+92ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

4yకు -\frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 276ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{11}{5}y=637$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{3185}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+92లో yను \frac{3185}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{5} సార్లు \frac{3185}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

-\frac{1911}{11}కు 92ని కూడండి.

$$x=-\frac{899}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

5x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+20y=4565ని 15x+9y=1380 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-20y=1380-4565$$

-20yకు 9yని కూడండి.

$$-11y=1380-4565$$

-4565కు 1380ని కూడండి.

$$-11y=-3185$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$y=\frac{3185}{11}$$

3x+4y=913లో yను \frac{3185}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

4 సార్లు \frac{3185}{11}ని గుణించండి.

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{12740}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{899}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$