{l}{5(x+3y)-(7x+8y)=-6}{7x-9y-2(x-18y)=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 3 y ) - ( 7 x + 8 y ) = - 6 } \\ { 7 x - 9 y - 2 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7yని పొందడం కోసం 15y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$-2x+7y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-18yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5xని పొందడం కోసం 7x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$5x-9y+36y=0$$

27yని పొందడం కోసం -9y మరియు 36yని జత చేయండి.

$$5x+27y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-2x+7y=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-7y-6$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y-6\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు -7y-6ని గుణించండి.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7y}{2}+3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+27y=0.

$$5\left(\frac{7}{2}y+3\right)+27y=0$$

5 సార్లు \frac{7y}{2}+3ని గుణించండి.

$$\frac{35}{2}y+15+27y=0$$

27yకు \frac{35y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{89}{2}y+15=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{89}{2}y=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{89}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{30}{89}$$

x=\frac{7}{2}y+3లో yను -\frac{30}{89} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{7}{2} సార్లు -\frac{30}{89}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

-\frac{105}{89}కు 3ని కూడండి.

$$x=\frac{162}{89}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7yని పొందడం కోసం 15y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$-2x+7y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-18yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5xని పొందడం కోసం 7x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$5x-9y+36y=0$$

27yని పొందడం కోసం -9y మరియు 36yని జత చేయండి.

$$5x+27y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{7}{-2\times 27-7\times 5}\\-\frac{5}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{2}{-2\times 27-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}&\frac{7}{89}\\\frac{5}{89}&\frac{2}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}\left(-6\right)\\\frac{5}{89}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7yని పొందడం కోసం 15y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$-2x+7y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-18yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5xని పొందడం కోసం 7x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$5x-9y+36y=0$$

27yని పొందడం కోసం -9y మరియు 36yని జత చేయండి.

$$5x+27y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

-2x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$5\left(-2\right)x+5\times 7y=5\left(-6\right),-2\times 5x-2\times 27y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-10x+35y=-30,-10x-54y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -10x-54y=0ని -10x+35y=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10x+10x+35y+54y=-30$$

10xకు -10xని కూడండి. -10x మరియు 10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$35y+54y=-30$$

54yకు 35yని కూడండి.

$$89y=-30$$

రెండు వైపులా 89తో భాగించండి.

$$y=-\frac{30}{89}$$

5x+27y=0లో yను -\frac{30}{89} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+27\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

27 సార్లు -\frac{30}{89}ని గుణించండి.

$$5x-\frac{810}{89}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{810}{89}ని కూడండి.

$$5x=\frac{810}{89}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{162}{89}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$