{l}{4x-2y=-2}{4x+3y=-12} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = - 2 } \\ { 4 x + 3 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-2y=-2,4x+3y=-12$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-2y=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$4x=2y-2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-2\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -2+2yని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-1+y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+3y=-12.

$$4\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=-12$$

4 సార్లు \frac{-1+y}{2}ని గుణించండి.

$$2y-2+3y=-12$$

3yకు 2yని కూడండి.

$$5y-2=-12$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$5y=-10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=-1-\frac{1}{2}$$

-1కు -\frac{1}{2}ని కూడండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3}{2},y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-2y=-2,4x+3y=-12$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-12\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-2\right)+\frac{1}{10}\left(-12\right)\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{3}{2},y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-2y=-2,4x+3y=-12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+3y=-12ని 4x-2y=-2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x-2y-3y=-2+12$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y-3y=-2+12$$

-3yకు -2yని కూడండి.

$$-5y=-2+12$$

12కు -2ని కూడండి.

$$-5y=10$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

4x+3y=-12లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+3\left(-2\right)=-12$$

3 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$4x-6=-12$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$4x=-6$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3}{2},y=-2$$