{l}{4x+5y=30}{6x-4y=12} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 30 } \\ { 6 x - 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{90}{23} = 3\frac{21}{23} \approx 3.913043478$$

$$y = \frac{66}{23} = 2\frac{20}{23} \approx 2.869565217$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+5y=30,6x-4y=12$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+5y=30$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-5y+30$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+30\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -5y+30ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{4}+\frac{15}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-4y=12.

$$6\left(-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}\right)-4y=12$$

6 సార్లు -\frac{5y}{4}+\frac{15}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{15}{2}y+45-4y=12$$

-4yకు -\frac{15y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{23}{2}y+45=12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{23}{2}y=-33$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{23}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{66}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}లో yను \frac{66}{23} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{66}{23}+\frac{15}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{4} సార్లు \frac{66}{23}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{165}{46}+\frac{15}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{165}{46}కు \frac{15}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{90}{23}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{90}{23},y=\frac{66}{23}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+5y=30,6x-4y=12$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-5\times 6}&-\frac{5}{4\left(-4\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-4\right)-5\times 6}&\frac{4}{4\left(-4\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{46}\\\frac{3}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\12\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 30+\frac{5}{46}\times 12\\\frac{3}{23}\times 30-\frac{2}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{23}\\\frac{66}{23}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{90}{23},y=\frac{66}{23}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+5y=30,6x-4y=12$$

4x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$6\times 4x+6\times 5y=6\times 30,4\times 6x+4\left(-4\right)y=4\times 12$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24x+30y=180,24x-16y=48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24x-16y=48ని 24x+30y=180 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x-24x+30y+16y=180-48$$

-24xకు 24xని కూడండి. 24x మరియు -24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$30y+16y=180-48$$

16yకు 30yని కూడండి.

$$46y=180-48$$

-48కు 180ని కూడండి.

$$46y=132$$

రెండు వైపులా 46తో భాగించండి.

$$y=\frac{66}{23}$$

6x-4y=12లో yను \frac{66}{23} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-4\times \frac{66}{23}=12$$

-4 సార్లు \frac{66}{23}ని గుణించండి.

$$6x-\frac{264}{23}=12$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{264}{23}ని కూడండి.

$$6x=\frac{540}{23}$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{90}{23}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{90}{23},y=\frac{66}{23}$$