{l}{4x+2y=6}{5x-3y=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{18}{11} = 1\frac{7}{11} \approx 1.636363636$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+2y=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-2y+6$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -2y+6ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+3}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-3y=9.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y=9$$

5 సార్లు \frac{-y+3}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-3y=9$$

-3yకు -\frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{3}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{3}{11}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}లో yను -\frac{3}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు -\frac{3}{11}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{22}+\frac{3}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{22}కు \frac{3}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{18}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-3\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 6+\frac{1}{11}\times 9\\\frac{5}{22}\times 6-\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\\-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

4x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20x+10y=30,20x-12y=36$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20x-12y=36ని 20x+10y=30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x-20x+10y+12y=30-36$$

-20xకు 20xని కూడండి. 20x మరియు -20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y+12y=30-36$$

12yకు 10yని కూడండి.

$$22y=30-36$$

-36కు 30ని కూడండి.

$$22y=-6$$

రెండు వైపులా 22తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{11}$$

5x-3y=9లో yను -\frac{3}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-3\left(-\frac{3}{11}\right)=9$$

-3 సార్లు -\frac{3}{11}ని గుణించండి.

$$5x+\frac{9}{11}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=\frac{90}{11}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{18}{11}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$