{l}{4+7y=x}{3x-14y=9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 4 + 7 y = x } \\ { 3 x - 14 y = 9 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4+7y-x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7y-x=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$7y-x=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా xని కూడండి.

$$7y=x-4$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{7}\left(x-4\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు x-4ని గుణించండి.

$$y=\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{-4+x}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -14y+3x=9.

$$-14\left(\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}\right)+3x=9$$

-14 సార్లు \frac{-4+x}{7}ని గుణించండి.

$$-2x+8+3x=9$$

3xకు -2xని కూడండి.

$$x+8=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=1$$

y=\frac{1}{7}x-\frac{4}{7}లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{1-4}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{7}కు -\frac{4}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-\frac{3}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4+7y-x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7y-x=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-14&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}&-\frac{-1}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}\\-\frac{-14}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-\left(-14\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{1}{7}\times 9\\2\left(-4\right)+9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\\1\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4+7y-x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7y-x=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7y-x=-4,-14y+3x=9$$

7y మరియు -14yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -14తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$-14\times 7y-14\left(-1\right)x=-14\left(-4\right),7\left(-14\right)y+7\times 3x=7\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-98y+14x=56,-98y+21x=63$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -98y+21x=63ని -98y+14x=56 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-98y+98y+14x-21x=56-63$$

98yకు -98yని కూడండి. -98y మరియు 98y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$14x-21x=56-63$$

-21xకు 14xని కూడండి.

$$-7x=56-63$$

-63కు 56ని కూడండి.

$$-7x=-7$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=1$$

-14y+3x=9లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-14y+3=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14y=6$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{3}{7},x=1$$