{l}{3.5c+5.25a=365.75}{c+a=9.4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 3.5 c + 5.25 a = 365.75 } \\ { c + a = 9.4 } \end{array} \right.$$

c, aని పరిష్కరించండి

$$c=-180.8$$

$$a=190.2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న cని వేరు చేయడం ద్వారా cని పరిష్కరించండి.

$$3.5c+5.25a=365.75$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{21a}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3.5c=-5.25a+365.75$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3.5తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$c=\frac{2}{7}\left(-5.25a+365.75\right)$$

\frac{2}{7} సార్లు \frac{-21a+1463}{4}ని గుణించండి.

$$c=-1.5a+104.5$$

మరొక సమీకరణములో cను \frac{-3a+209}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, c+a=9.4.

$$-1.5a+104.5+a=9.4$$

aకు -\frac{3a}{2}ని కూడండి.

$$-0.5a+104.5=9.4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 104.5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.5a=-95.1$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$a=190.2$$

c=-1.5a+104.5లో aను 190.2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$c=-1.5\times 190.2+104.5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -1.5 సార్లు 190.2ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$c=-285.3+104.5$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -285.3కు 104.5ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$c=-180.8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=-180.8,a=190.2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3.5-5.25}&-\frac{5.25}{3.5-5.25}\\-\frac{1}{3.5-5.25}&\frac{3.5}{3.5-5.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&3\\\frac{4}{7}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 365.75+3\times 9.4\\\frac{4}{7}\times 365.75-2\times 9.4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180.8\\190.2\end{matrix}\right)$$

c మరియు a మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$c=-180.8,a=190.2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

\frac{7c}{2} మరియు cని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3.5తో గుణించండి.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=3.5\times 9.4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=32.9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3.5c+3.5a=32.9ని 3.5c+5.25a=365.75 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3.5c-3.5c+5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

-\frac{7c}{2}కు \frac{7c}{2}ని కూడండి. \frac{7c}{2} మరియు -\frac{7c}{2} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

-\frac{7a}{2}కు \frac{21a}{4}ని కూడండి.

$$1.75a=365.75-32.9$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -32.9కు 365.75ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$1.75a=332.85$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.75తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$a=190.2$$

c+a=9.4లో aను 190.2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు cని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$c+190.2=9.4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 190.2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$c=-180.8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$c=-180.8,a=190.2$$