{l}{20a+3b=41}{15a+7b=45} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$20a+3b=41$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$20a=-3b+41$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

\frac{1}{20} సార్లు -3b+41ని గుణించండి.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

మరొక సమీకరణములో aను \frac{-3b+41}{20} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 15a+7b=45.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

15 సార్లు \frac{-3b+41}{20}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

7bకు -\frac{9b}{4}ని కూడండి.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{123}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=3$$

a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}లో bను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

-\frac{3}{20} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{9}{20}కు \frac{41}{20}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{8}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

20a మరియు 15aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 15తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 20తో గుణించండి.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 300a+140b=900ని 300a+45b=615 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

-300aకు 300aని కూడండి. 300a మరియు -300a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$45b-140b=615-900$$

-140bకు 45bని కూడండి.

$$-95b=615-900$$

-900కు 615ని కూడండి.

$$-95b=-285$$

రెండు వైపులా -95తో భాగించండి.

$$b=3$$

15a+7b=45లో bను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$15a+7\times 3=45$$

7 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$15a+21=45$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$15a=24$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$a=\frac{8}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$