{l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y-7=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$2x+y=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y+7$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y+7ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+7}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

17 సార్లు \frac{-y+7}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-11yకు -\frac{17y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

-8కు \frac{119}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{103}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{39}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}లో yను \frac{103}{39} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు \frac{103}{39}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{103}{78}కు \frac{7}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{85}{39}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x మరియు 17xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 17తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 34x-22y-16=0ని 34x+17y-119=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

-34xకు 34xని కూడండి. 34x మరియు -34x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$17y+22y-119+16=0$$

22yకు 17yని కూడండి.

$$39y-119+16=0$$

16కు -119ని కూడండి.

$$39y-103=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 103ని కూడండి.

$$39y=103$$

రెండు వైపులా 39తో భాగించండి.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0లో yను \frac{103}{39} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

-11 సార్లు \frac{103}{39}ని గుణించండి.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-8కు -\frac{1133}{39}ని కూడండి.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1445}{39}ని కూడండి.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

రెండు వైపులా 17తో భాగించండి.

$$x=\frac{85}{39}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$