{l}{2x+y=-4}{-2x+3y=20} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 4 } \\ { - 2 x + 3 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-4$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y=-4,-2x+3y=20$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y-4$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-4\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y-4ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y-2$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}-2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+3y=20.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-2\right)+3y=20$$

-2 సార్లు -\frac{y}{2}-2ని గుణించండి.

$$y+4+3y=20$$

3yకు yని కూడండి.

$$4y+4=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y=16$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{2}y-2లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-2$$

-\frac{1}{2} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=-2-2$$

-2కు -2ని కూడండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y=-4,-2x+3y=20$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{8}\times 20\\\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-4,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y=-4,-2x+3y=20$$

2x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-2\times 2x-2y=-2\left(-4\right),2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 20$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-2y=8,-4x+6y=40$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x+6y=40ని -4x-2y=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-2y-6y=8-40$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y-6y=8-40$$

-6yకు -2yని కూడండి.

$$-8y=8-40$$

-40కు 8ని కూడండి.

$$-8y=-32$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$y=4$$

-2x+3y=20లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+3\times 4=20$$

3 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$-2x+12=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=8$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=4$$