{l}{2x+8y=18}{-3x-4y=14} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 18 } \\ { - 3 x - 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$y = \frac{41}{8} = 5\frac{1}{8} = 5.125$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+8y=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-8y+18$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+18\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -8y+18ని గుణించండి.

$$x=-4y+9$$

మరొక సమీకరణములో xను -4y+9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x-4y=14.

$$-3\left(-4y+9\right)-4y=14$$

-3 సార్లు -4y+9ని గుణించండి.

$$12y-27-4y=14$$

-4yకు 12yని కూడండి.

$$8y-27=14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 27ని కూడండి.

$$8y=41$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=\frac{41}{8}$$

x=-4y+9లో yను \frac{41}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-4\times \frac{41}{8}+9$$

-4 సార్లు \frac{41}{8}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{41}{2}+9$$

-\frac{41}{2}కు 9ని కూడండి.

$$x=-\frac{23}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&-\frac{8}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 18-\frac{1}{2}\times 14\\\frac{3}{16}\times 18+\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{2}\\\frac{41}{8}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

2x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-3\times 2x-3\times 8y=-3\times 18,2\left(-3\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 14$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-6x-24y=-54,-6x-8y=28$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x-8y=28ని -6x-24y=-54 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+6x-24y+8y=-54-28$$

6xకు -6xని కూడండి. -6x మరియు 6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-24y+8y=-54-28$$

8yకు -24yని కూడండి.

$$-16y=-54-28$$

-28కు -54ని కూడండి.

$$-16y=-82$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$y=\frac{41}{8}$$

-3x-4y=14లో yను \frac{41}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x-4\times \frac{41}{8}=14$$

-4 సార్లు \frac{41}{8}ని గుణించండి.

$$-3x-\frac{41}{2}=14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{41}{2}ని కూడండి.

$$-3x=\frac{69}{2}$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{23}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$