{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-28$$

$$y=63$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$11x+5y=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x=-5y+7$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{11} సార్లు -5y+7ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y+7}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

6 సార్లు \frac{-5y+7}{11}ని గుణించండి.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3yకు -\frac{30y}{11}ని కూడండి.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{42}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{11}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}లో yను 63 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

-\frac{5}{11} సార్లు 63ని గుణించండి.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{315}{11}కు \frac{7}{11}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-28$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-28,y=63$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-28,y=63$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 11తో గుణించండి.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 66x+33y=231ని 66x+30y=42 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66xకు 66xని కూడండి. 66x మరియు -66x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$30y-33y=42-231$$

-33yకు 30yని కూడండి.

$$-3y=42-231$$

-231కు 42ని కూడండి.

$$-3y=-189$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=63$$

6x+3y=21లో yను 63 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x+3\times 63=21$$

3 సార్లు 63ని గుణించండి.

$$6x+189=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 189ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-168$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=-28$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-28,y=63$$