{l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.2x+0.1y=-180$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{y}{10}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.2x=-0.1y-180$$

రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

5 సార్లు -\frac{y}{10}-180ని గుణించండి.

$$x=-0.5y-900$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}-900 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

-0.7 సార్లు -\frac{y}{2}-900ని గుణించండి.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

-\frac{y}{5}కు \frac{7y}{20}ని కూడండి.

$$0.15y+630=480$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 630ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.15y=-150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.15తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1000$$

x=-0.5y-900లో yను -1000 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

-0.5 సార్లు -1000ని గుణించండి.

$$x=500-900$$

500కు -900ని కూడండి.

$$x=-400$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-400,y=-1000$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-400,y=-1000$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

\frac{x}{5} మరియు -\frac{7x}{10}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -0.7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.2తో గుణించండి.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -0.14x-0.04y=96ని -0.14x-0.07y=126 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

\frac{7x}{50}కు -\frac{7x}{50}ని కూడండి. -\frac{7x}{50} మరియు \frac{7x}{50} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

\frac{y}{25}కు -\frac{7y}{100}ని కూడండి.

$$-0.03y=126-96$$

-96కు 126ని కూడండి.

$$-0.03y=30$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.03తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1000$$

-0.7x-0.2y=480లో yను -1000 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

-0.2 సార్లు -1000ని గుణించండి.

$$-0.7x+200=480$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 200ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.7x=280$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.7తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-400$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-400,y=-1000$$