{l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-8$$

$$y=9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x-2y=-10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$-x=2y-10$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

-1 సార్లు -10+2yని గుణించండి.

$$x=-2y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -7x-8y=-16.

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

-7 సార్లు -2y+10ని గుణించండి.

$$14y-70-8y=-16$$

-8yకు 14yని కూడండి.

$$6y-70=-16$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 70ని కూడండి.

$$6y=54$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=9$$

x=-2y+10లో yను 9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times 9+10$$

-2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=-18+10$$

-18కు 10ని కూడండి.

$$x=-8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-8,y=9$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-8,y=9$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

-x మరియు -7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 7x+8y=16ని 7x+14y=70 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

-7xకు 7xని కూడండి. 7x మరియు -7x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$14y-8y=70-16$$

-8yకు 14yని కూడండి.

$$6y=70-16$$

-16కు 70ని కూడండి.

$$6y=54$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=9$$

-7x-8y=-16లో yను 9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-7x-8\times 9=-16$$

-8 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$-7x-72=-16$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 72ని కూడండి.

$$-7x=56$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=-8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-8,y=9$$