{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-9x+6y=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x=-6y+13$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-\frac{1}{9} సార్లు -6y+13ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

c సార్లు \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}ని గుణించండి.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

8yకు \frac{2cy}{3}ని కూడండి.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{13c}{9}ని కూడండి.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

రెండు వైపులా \frac{2c}{3}+8తో భాగించండి.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}లో yను \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{2}{3} సార్లు \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}ని గుణించండి.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}కు -\frac{13}{9}ని కూడండి.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x మరియు cxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను cతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-9c\right)x-72y=108ని \left(-9c\right)x+6cy=13c నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

9cxకు -9cxని కూడండి. -9cx మరియు 9cx విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6cy+72y=13c-108$$

72yకు 6cyని కూడండి.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

రెండు వైపులా 72+6cతో భాగించండి.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12లో yను \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

8 సార్లు \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}ని గుణించండి.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

రెండు వైపులా cతో భాగించండి.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$