{l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$-3y+4x=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y=-4x+13$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-\frac{1}{3} సార్లు -4x+13ని గుణించండి.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{4x-13}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

-5 సార్లు \frac{4x-13}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-6xకు -\frac{20x}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{65}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{38}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}లో xను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

\frac{4}{3} సార్లు 7ని గుణించండి.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{28}{3}కు -\frac{13}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=5,x=7$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=5,x=7$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y మరియు -5yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15y+18x=201ని 15y-20x=-65 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

-15yకు 15yని కూడండి. 15y మరియు -15y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-20x-18x=-65-201$$

-18xకు -20xని కూడండి.

$$-38x=-65-201$$

-201కు -65ని కూడండి.

$$-38x=-266$$

రెండు వైపులా -38తో భాగించండి.

$$x=7$$

-5y-6x=-67లో xను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-5y-6\times 7=-67$$

-6 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$-5y-42=-67$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 42ని కూడండి.

$$-5y=-25$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=5,x=7$$