{l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=5$$

$$y=7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+5తో x-2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

y+2తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3xని పొందడం కోసం 5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$3x-2y-10=-y-2$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-yని పొందడం కోసం -2y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x-y-10=-2$$

రెండు వైపులా 10ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+10$$

8ని పొందడం కోసం -2 మరియు 10ని కూడండి.

$$3x-y=8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+4తో y-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

y-4తో x+7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -xyని జత చేయండి.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

xని పొందడం కోసం -3x మరియు 4xని జత చేయండి.

$$4y+x-12=7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3yని పొందడం కోసం 4y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-3y+x-12=-28$$

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి.

$$-3y+x=-28+12$$

-16ని పొందడం కోసం -28 మరియు 12ని కూడండి.

$$-3y+x=-16$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y+8$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y+8ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{8+y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

-3yకు \frac{y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{8}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=7$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}లో yను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

\frac{1}{3} సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{3}కు \frac{8}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=7$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+5తో x-2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

y+2తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3xని పొందడం కోసం 5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$3x-2y-10=-y-2$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-yని పొందడం కోసం -2y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x-y-10=-2$$

రెండు వైపులా 10ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+10$$

8ని పొందడం కోసం -2 మరియు 10ని కూడండి.

$$3x-y=8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+4తో y-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

y-4తో x+7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -xyని జత చేయండి.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

xని పొందడం కోసం -3x మరియు 4xని జత చేయండి.

$$4y+x-12=7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3yని పొందడం కోసం 4y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-3y+x-12=-28$$

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి.

$$-3y+x=-28+12$$

-16ని పొందడం కోసం -28 మరియు 12ని కూడండి.

$$-3y+x=-16$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=5,y=7$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+5తో x-2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

y+2తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3xని పొందడం కోసం 5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$3x-2y-10=-y-2$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-yని పొందడం కోసం -2y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x-y-10=-2$$

రెండు వైపులా 10ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+10$$

8ని పొందడం కోసం -2 మరియు 10ని కూడండి.

$$3x-y=8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+4తో y-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

y-4తో x+7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -xyని జత చేయండి.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

xని పొందడం కోసం -3x మరియు 4xని జత చేయండి.

$$4y+x-12=7y-28$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3yని పొందడం కోసం 4y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-3y+x-12=-28$$

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి.

$$-3y+x=-28+12$$

-16ని పొందడం కోసం -28 మరియు 12ని కూడండి.

$$-3y+x=-16$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x-9y=-48ని 3x-y=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-y+9y=8+48$$

9yకు -yని కూడండి.

$$8y=8+48$$

48కు 8ని కూడండి.

$$8y=56$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=7$$

x-3y=-16లో yను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-3\times 7=-16$$

-3 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x-21=-16$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 21ని కూడండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=7$$