{l}{y+2/x*3=-1}{y+2/2=3*x/2+3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 } { x } * 3 = - 1 } \\ { \frac { y + 2 } { 2 } = 3 * \frac { x } { 2 } + 3 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3xతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,3.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3y+6=-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$3y+6+x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3y+x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y+2=3x+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y+2-3x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$3y+x=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=-x-6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x-6\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -x-6ని గుణించండి.

$$y=-\frac{1}{3}x-2$$

మరొక సమీకరణములో yను -\frac{x}{3}-2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-3x=4.

$$-\frac{1}{3}x-2-3x=4$$

-3xకు -\frac{x}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{10}{3}x-2=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$-\frac{10}{3}x=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{10}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{9}{5}$$

y=-\frac{1}{3}x-2లో xను -\frac{9}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{5}\right)-2$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{3} సార్లు -\frac{9}{5}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{3}{5}-2$$

\frac{3}{5}కు -2ని కూడండి.

$$y=-\frac{7}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3xతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,3.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3y+6=-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$3y+6+x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3y+x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y+2=3x+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y+2-3x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-1}&\frac{3}{3\left(-3\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 4\\\frac{1}{10}\left(-6\right)-\frac{3}{10}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3xతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,3.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3y+6=-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$3y+6+x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$3y+x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y+2=3x+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y+2-3x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

3y మరియు yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$3y+x=-6,3y+3\left(-3\right)x=3\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3y+x=-6,3y-9x=12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3y-9x=12ని 3y+x=-6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3y+x+9x=-6-12$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x+9x=-6-12$$

9xకు xని కూడండి.

$$10x=-6-12$$

-12కు -6ని కూడండి.

$$10x=-18$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=-\frac{9}{5}$$

y-3x=4లో xను -\frac{9}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-3\left(-\frac{9}{5}\right)=4$$

-3 సార్లు -\frac{9}{5}ని గుణించండి.

$$y+\frac{27}{5}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{27}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{7}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$