{l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=5$$

$$y=-10$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$2x-20=y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-20-y=0$$

రెండు వైపులా 20ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$2x-y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7yని జోడించండి.

$$5x+45+7y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$5x+7y=-45$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-y=20$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$2x=y+20$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు y+20ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

5 సార్లు \frac{y}{2}+10ని గుణించండి.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

7yకు \frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 50ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10లో yను -10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

\frac{1}{2} సార్లు -10ని గుణించండి.

$$x=-5+10$$

-5కు 10ని కూడండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=-10$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$2x-20=y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-20-y=0$$

రెండు వైపులా 20ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$2x-y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7yని జోడించండి.

$$5x+45+7y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$5x+7y=-45$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=5,y=-10$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$2x-20=y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-20-y=0$$

రెండు వైపులా 20ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$2x-y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 7yని జోడించండి.

$$5x+45+7y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$5x+7y=-45$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+14y=-90ని 10x-5y=100 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-5y-14y=100+90$$

-14yకు -5yని కూడండి.

$$-19y=100+90$$

90కు 100ని కూడండి.

$$-19y=190$$

రెండు వైపులా -19తో భాగించండి.

$$y=-10$$

5x+7y=-45లో yను -10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

7 సార్లు -10ని గుణించండి.

$$5x-70=-45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 70ని కూడండి.

$$5x=25$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=-10$$