{l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 50తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని గుణించండి.

$$54x+45y=50400$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$54x+45y=50400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 45yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$54x=-45y+50400$$

రెండు వైపులా 54తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

\frac{1}{54} సార్లు -45y+50400ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{11}{10} సార్లు -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{43y}{5}కు -\frac{11y}{12}ని కూడండి.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3080}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{461}{60}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}లో yను \frac{80}{461} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{6} సార్లు \frac{80}{461}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{200}{1383}కు \frac{2800}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{430200}{461}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 50తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని గుణించండి.

$$54x+45y=50400$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 50తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని గుణించండి.

$$54x+45y=50400$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x మరియు \frac{11x}{10}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{11}{10}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 54తో గుణించండి.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512ని \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{297x}{5}కు \frac{297x}{5}ని కూడండి. \frac{297x}{5} మరియు -\frac{297x}{5} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{2322y}{5}కు \frac{99y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

-55512కు 55440ని కూడండి.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{4149}{10}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028లో yను \frac{80}{461} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{43}{5} సార్లు \frac{80}{461}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{688}{461}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{10}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{430200}{461}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$