{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3తో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5xని పొందడం కోసం 8x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2yని పొందడం కోసం -4y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$5x+2y+12-9=48$$

3ని పొందడం కోసం 9ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y+3=48$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=48-3$$

45ని పొందడం కోసం 3ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25xని పొందడం కోసం 9x మరియు 16xని జత చేయండి.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20yని పొందడం కోసం -12y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27ని పొందడం కోసం 36ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x-20y-27=48$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$25x-20y=48+27$$

75ని పొందడం కోసం 48 మరియు 27ని కూడండి.

$$25x-20y=75$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+2y=45$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-2y+45$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -2y+45ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{2y}{5}+9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

25 సార్లు -\frac{2y}{5}+9ని గుణించండి.

$$-10y+225-20y=75$$

-20yకు -10yని కూడండి.

$$-30y+225=75$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 225ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-30y=-150$$

రెండు వైపులా -30తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

-\frac{2}{5} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=-2+9$$

-2కు 9ని కూడండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3తో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5xని పొందడం కోసం 8x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2yని పొందడం కోసం -4y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$5x+2y+12-9=48$$

3ని పొందడం కోసం 9ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y+3=48$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=48-3$$

45ని పొందడం కోసం 3ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25xని పొందడం కోసం 9x మరియు 16xని జత చేయండి.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20yని పొందడం కోసం -12y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27ని పొందడం కోసం 36ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x-20y-27=48$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$25x-20y=48+27$$

75ని పొందడం కోసం 48 మరియు 27ని కూడండి.

$$25x-20y=75$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=7,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

2x-y+3తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

x-2y+3తో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5xని పొందడం కోసం 8x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2yని పొందడం కోసం -4y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$5x+2y+12-9=48$$

3ని పొందడం కోసం 9ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y+3=48$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=48-3$$

45ని పొందడం కోసం 3ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+2y=45$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3x-4y+3తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4x-2y-9తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25xని పొందడం కోసం 9x మరియు 16xని జత చేయండి.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20yని పొందడం కోసం -12y మరియు -8yని జత చేయండి.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27ని పొందడం కోసం 36ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x-20y-27=48$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$25x-20y=48+27$$

75ని పొందడం కోసం 48 మరియు 27ని కూడండి.

$$25x-20y=75$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x మరియు 25xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 25తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 125x-100y=375ని 125x+50y=1125 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

-125xకు 125xని కూడండి. 125x మరియు -125x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$50y+100y=1125-375$$

100yకు 50yని కూడండి.

$$150y=1125-375$$

-375కు 1125ని కూడండి.

$$150y=750$$

రెండు వైపులా 150తో భాగించండి.

$$y=5$$

25x-20y=75లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$25x-20\times 5=75$$

-20 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$25x-100=75$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 100ని కూడండి.

$$25x=175$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=5$$