{l}{1/2x+1/3y=13}{1/3x+1/8y=5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 13 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 8 } y = 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{y}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+13$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+13\right)$$

2 సార్లు -\frac{y}{3}+13ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{3}y+26$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{2y}{3}+26 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+26\right)+\frac{1}{8}y=5$$

\frac{1}{3} సార్లు -\frac{2y}{3}+26ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{26}{3}+\frac{1}{8}y=5$$

\frac{y}{8}కు -\frac{2y}{9}ని కూడండి.

$$-\frac{7}{72}y+\frac{26}{3}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{26}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{7}{72}y=-\frac{11}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{7}{72}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{264}{7}$$

x=-\frac{2}{3}y+26లో yను \frac{264}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{264}{7}+26$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{3} సార్లు \frac{264}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{176}{7}+26$$

-\frac{176}{7}కు 26ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}&\frac{48}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{72}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}\times 13+\frac{48}{7}\times 5\\\frac{48}{7}\times 13-\frac{72}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{264}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

\frac{x}{2} మరియు \frac{x}{3}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{3}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\times 13,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{2}\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2}ని \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

-\frac{x}{6}కు \frac{x}{6}ని కూడండి. \frac{x}{6} మరియు -\frac{x}{6} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

-\frac{y}{16}కు \frac{y}{9}ని కూడండి.

$$\frac{7}{144}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{2}కు \frac{13}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{7}{144}y=\frac{11}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{144}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{264}{7}$$

\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5లో yను \frac{264}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}\times \frac{264}{7}=5$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{8} సార్లు \frac{264}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{1}{3}x+\frac{33}{7}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{33}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{7}$$

రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$x=\frac{6}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$