{r}{1x+9y=297}{-2x+1y=-138} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { r } { 1 x + 9 y = 297 } \\ { - 2 x + 1 y = - 138 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=81$$

$$y=24$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+9y=297,-2x+y=-138$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+9y=297$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-9y+297$$

మరొక సమీకరణములో xను -9y+297 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+y=-138.

$$-2\left(-9y+297\right)+y=-138$$

-2 సార్లు -9y+297ని గుణించండి.

$$18y-594+y=-138$$

yకు 18yని కూడండి.

$$19y-594=-138$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 594ని కూడండి.

$$19y=456$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$y=24$$

x=-9y+297లో yను 24 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-9\times 24+297$$

-9 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$x=-216+297$$

-216కు 297ని కూడండి.

$$x=81$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=81,y=24$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+9y=297,-2x+y=-138$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{1-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-9\left(-2\right)}&\frac{1}{1-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{9}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}297\\-138\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 297-\frac{9}{19}\left(-138\right)\\\frac{2}{19}\times 297+\frac{1}{19}\left(-138\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\24\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=81,y=24$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+9y=297,-2x+y=-138$$

x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-2x-2\times 9y=-2\times 297,-2x+y=-138$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x-18y=-594,-2x+y=-138$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x+y=-138ని -2x-18y=-594 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x-18y-y=-594+138$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-18y-y=-594+138$$

-yకు -18yని కూడండి.

$$-19y=-594+138$$

138కు -594ని కూడండి.

$$-19y=-456$$

రెండు వైపులా -19తో భాగించండి.

$$y=24$$

-2x+y=-138లో yను 24 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+24=-138$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-162$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=81$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=81,y=24$$