{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-4}{5} భిన్నమును -\frac{4}{5} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

మరొక సమీకరణములో yను -\frac{4x}{5}-9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

3 సార్లు -\frac{4x}{5}-9ని గుణించండి.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

8xకు -\frac{12x}{5}ని కూడండి.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 27ని కూడండి.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{28}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{45}{14}$$

y=-\frac{4}{5}x-9లో xను -\frac{45}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{4}{5} సార్లు -\frac{45}{14}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

\frac{18}{7}కు -9ని కూడండి.

$$y=-\frac{45}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-4}{5} భిన్నమును -\frac{4}{5} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

రెండు వైపులా \frac{4}{5}xని జోడించండి.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{8x}{3}ని జోడించండి.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3y+8x=-45$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రుణాత్మక సంకేతాన్ని తీసివేయడం ద్వారా \frac{-4}{5} భిన్నమును -\frac{4}{5} తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

రెండు వైపులా \frac{4}{5}xని జోడించండి.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{8x}{3}ని జోడించండి.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3y+8x=-45$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y మరియు 3yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3y+8x=-45ని 3y+\frac{12}{5}x=-27 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-8xకు \frac{12x}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

45కు -27ని కూడండి.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{28}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{45}{14}$$

3y+8x=-45లో xను -\frac{45}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

8 సార్లు -\frac{45}{14}ని గుణించండి.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{180}{7}ని కూడండి.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=-\frac{45}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$