{l}{x+y=36}{5/7=x/y} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=15$$

$$y=21$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 7yతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 7,y.

$$5y=7x$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y-7x=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+36$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+36 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

-7 సార్లు -y+36ని గుణించండి.

$$7y-252+5y=0$$

5yకు 7yని కూడండి.

$$12y-252=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 252ని కూడండి.

$$12y=252$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$y=21$$

x=-y+36లో yను 21 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-21+36$$

-21కు 36ని కూడండి.

$$x=15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=15,y=21$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 7yతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 7,y.

$$5y=7x$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y-7x=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=15,y=21$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 7yతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 7,y.

$$5y=7x$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y-7x=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

x మరియు -7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -7x+5y=0ని -7x-7y=-252 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

7xకు -7xని కూడండి. -7x మరియు 7x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-7y-5y=-252$$

-5yకు -7yని కూడండి.

$$-12y=-252$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$y=21$$

-7x+5y=0లో yను 21 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-7x+5\times 21=0$$

5 సార్లు 21ని గుణించండి.

$$-7x+105=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 105ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x=-105$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=15,y=21$$