{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా byని కూడండి.

$$ax=by-8$$

రెండు వైపులా aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} సార్లు by-8ని గుణించండి.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{by-8}{a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b సార్లు \frac{by-8}{a}ని గుణించండి.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ayకు \frac{b^{2}y}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1కు -\frac{8b}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{a-8b}{a}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

రెండు వైపులా a+\frac{b^{2}}{a}తో భాగించండి.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}లో yను \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} సార్లు \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}ని గుణించండి.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}కు -\frac{8}{a}ని కూడండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax మరియు bxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను bతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను aతో గుణించండి.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా abx+a^{2}y+a=0ని abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-baxకు baxని కూడండి. bax మరియు -bax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}yకు -b^{2}yని కూడండి.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8b-aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

రెండు వైపులా -b^{2}-a^{2}తో భాగించండి.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0లో yను -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a సార్లు -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}ని గుణించండి.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1కు -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}ని కూడండి.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

రెండు వైపులా bతో భాగించండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా byని కూడండి.

$$ax=by-8$$

రెండు వైపులా aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} సార్లు by-8ని గుణించండి.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{by-8}{a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b సార్లు \frac{by-8}{a}ని గుణించండి.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ayకు \frac{b^{2}y}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1కు -\frac{8b}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{a-8b}{a}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

రెండు వైపులా a+\frac{b^{2}}{a}తో భాగించండి.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}లో yను \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} సార్లు \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}ని గుణించండి.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}కు -\frac{8}{a}ని కూడండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax మరియు bxని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను bతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను aతో గుణించండి.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా abx+a^{2}y+a=0ని abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-baxకు baxని కూడండి. bax మరియు -bax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}yకు -b^{2}yని కూడండి.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8b-aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

రెండు వైపులా -b^{2}-a^{2}తో భాగించండి.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0లో yను -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a సార్లు -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}ని గుణించండి.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1కు -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}ని కూడండి.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

రెండు వైపులా bతో భాగించండి.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$