{l}{9m-2n=3}{4n+m=-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$9m-2n=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2nని కూడండి.

$$9m=2n+3$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు 2n+3ని గుణించండి.

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో mను \frac{2n}{9}+\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, m+4n=-1.

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

4nకు \frac{2n}{9}ని కూడండి.

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{38}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}లో nను -\frac{6}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{2}{9} సార్లు -\frac{6}{19}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{4}{57}కు \frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=\frac{5}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

9m మరియు mని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9m+36n=-9ని 9m-2n=3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

-9mకు 9mని కూడండి. 9m మరియు -9m విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2n-36n=3+9$$

-36nకు -2nని కూడండి.

$$-38n=3+9$$

9కు 3ని కూడండి.

$$-38n=12$$

రెండు వైపులా -38తో భాగించండి.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m+4n=-1లో nను -\frac{6}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

4 సార్లు -\frac{6}{19}ని గుణించండి.

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{24}{19}ని కూడండి.

$$m=\frac{5}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$