{l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x+20y=11400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x=-20y+11400$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు -20y+11400ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{2}+1425 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10x+30y=22500.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

10 సార్లు -\frac{5y}{2}+1425ని గుణించండి.

$$-25y+14250+30y=22500$$

30yకు -25yని కూడండి.

$$5y+14250=22500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14250ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y=8250$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=1650$$

x=-\frac{5}{2}y+1425లో yను 1650 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

-\frac{5}{2} సార్లు 1650ని గుణించండి.

$$x=-4125+1425$$

-4125కు 1425ని కూడండి.

$$x=-2700$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2700,y=1650$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-2700,y=1650$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x మరియు 10xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 80x+240y=180000ని 80x+200y=114000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

-80xకు 80xని కూడండి. 80x మరియు -80x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$200y-240y=114000-180000$$

-240yకు 200yని కూడండి.

$$-40y=114000-180000$$

-180000కు 114000ని కూడండి.

$$-40y=-66000$$

రెండు వైపులా -40తో భాగించండి.

$$y=1650$$

10x+30y=22500లో yను 1650 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10x+30\times 1650=22500$$

30 సార్లు 1650ని గుణించండి.

$$10x+49500=22500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 49500ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x=-27000$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=-2700$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2700,y=1650$$