{l}{8k+a=3650}{15k+a=150} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

k, aని పరిష్కరించండి

$$k=-500$$

$$a=7650$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న kని వేరు చేయడం ద్వారా kని పరిష్కరించండి.

$$8k+a=3650$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8k=-a+3650$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు -a+3650ని గుణించండి.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

మరొక సమీకరణములో kను -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

15 సార్లు -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

aకు -\frac{15a}{8}ని కూడండి.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{27375}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{7}{8}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$a=7650$$

k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}లో aను 7650 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు kని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

-\frac{1}{8} సార్లు 7650ని గుణించండి.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{3825}{4}కు \frac{1825}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$k=-500$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$k=-500,a=7650$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

k మరియు a మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$k=-500,a=7650$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15k+a=150ని 8k+a=3650 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

-aకు aని కూడండి. a మరియు -a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8k-15k=3650-150$$

-15kకు 8kని కూడండి.

$$-7k=3650-150$$

-150కు 3650ని కూడండి.

$$-7k=3500$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$k=-500$$

15k+a=150లో kను -500 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

15 సార్లు -500ని గుణించండి.

$$-7500+a=150$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7500ని కూడండి.

$$a=7650$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$k=-500,a=7650$$