{l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$78x+40y=1280$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$78x=-40y+1280$$

రెండు వైపులా 78తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} సార్లు -40y+1280ని గుణించండి.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-20y+640}{39} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

120 సార్లు \frac{-20y+640}{39}ని గుణించండి.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

80yకు -\frac{800y}{13}ని కూడండి.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{25600}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{240}{13}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=45$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}లో yను 45 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

-\frac{20}{39} సార్లు 45ని గుణించండి.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{300}{13}కు \frac{640}{39}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{20}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x మరియు 120xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 120తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 78తో గుణించండి.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 9360x+6240y=218400ని 9360x+4800y=153600 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

-9360xకు 9360xని కూడండి. 9360x మరియు -9360x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

-6240yకు 4800yని కూడండి.

$$-1440y=153600-218400$$

-218400కు 153600ని కూడండి.

$$-1440y=-64800$$

రెండు వైపులా -1440తో భాగించండి.

$$y=45$$

120x+80y=2800లో yను 45 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$120x+80\times 45=2800$$

80 సార్లు 45ని గుణించండి.

$$120x+3600=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3600ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$120x=-800$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$x=-\frac{20}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$