{l}{7P=B-39}{B-11P=9} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 P = B - 39 } \\ { B - 11 P = 9 } \end{array} \right.$$

P, Bని పరిష్కరించండి

$$P = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$B = \frac{183}{2} = 91\frac{1}{2} = 91.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి Bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7P-B=-39$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Pని వేరు చేయడం ద్వారా Pని పరిష్కరించండి.

$$7P-B=-39$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా Bని కూడండి.

$$7P=B-39$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$P=\frac{1}{7}\left(B-39\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు B-39ని గుణించండి.

$$P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}$$

మరొక సమీకరణములో Pను \frac{-39+B}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -11P+B=9.

$$-11\left(\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}\right)+B=9$$

-11 సార్లు \frac{-39+B}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{11}{7}B+\frac{429}{7}+B=9$$

Bకు -\frac{11B}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{4}{7}B+\frac{429}{7}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{429}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{4}{7}B=-\frac{366}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{4}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$B=\frac{183}{2}$$

P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}లో Bను \frac{183}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Pని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$P=\frac{1}{7}\times \frac{183}{2}-\frac{39}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{7} సార్లు \frac{183}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$P=\frac{183}{14}-\frac{39}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{183}{14}కు -\frac{39}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$P=\frac{15}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి Bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7P-B=-39$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\\-\frac{-11}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&\frac{7}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)-\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)-\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{183}{2}\end{matrix}\right)$$

P మరియు B మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి Bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7P-B=-39$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

7P మరియు -11Pని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -11తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$-11\times 7P-11\left(-1\right)B=-11\left(-39\right),7\left(-11\right)P+7B=7\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-77P+11B=429,-77P+7B=63$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -77P+7B=63ని -77P+11B=429 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-77P+77P+11B-7B=429-63$$

77Pకు -77Pని కూడండి. -77P మరియు 77P విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$11B-7B=429-63$$

-7Bకు 11Bని కూడండి.

$$4B=429-63$$

-63కు 429ని కూడండి.

$$4B=366$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$B=\frac{183}{2}$$

-11P+B=9లో Bను \frac{183}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Pని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-11P+\frac{183}{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{183}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-11P=-\frac{165}{2}$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$P=\frac{15}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$