{l}{5x+7y=41}{5x+8y=44} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 41 } \\ { 5 x + 8 y = 44 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+7y=41$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-7y+41$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+41\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -7y+41ని గుణించండి.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-7y+41}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+8y=44.

$$5\left(-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}\right)+8y=44$$

5 సార్లు \frac{-7y+41}{5}ని గుణించండి.

$$-7y+41+8y=44$$

8yకు -7yని కూడండి.

$$y+41=44$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 41ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=3$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{41}{5}లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{7}{5}\times 3+\frac{41}{5}$$

-\frac{7}{5} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-21+41}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{21}{5}కు \frac{41}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-7\times 5}&-\frac{7}{5\times 8-7\times 5}\\-\frac{5}{5\times 8-7\times 5}&\frac{5}{5\times 8-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{7}{5}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\44\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 41-\frac{7}{5}\times 44\\-41+44\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+7y=41,5x+8y=44$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x+8y=44ని 5x+7y=41 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-5x+7y-8y=41-44$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$7y-8y=41-44$$

-8yకు 7yని కూడండి.

$$-y=41-44$$

-44కు 41ని కూడండి.

$$-y=-3$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=3$$

5x+8y=44లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+8\times 3=44$$

8 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$5x+24=44$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=20$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=3$$