{l}{44k+b=72}{48k+b=64} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

k, bని పరిష్కరించండి

$$k=-2$$

$$b=160$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న kని వేరు చేయడం ద్వారా kని పరిష్కరించండి.

$$44k+b=72$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$44k=-b+72$$

రెండు వైపులా 44తో భాగించండి.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

\frac{1}{44} సార్లు -b+72ని గుణించండి.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

మరొక సమీకరణములో kను -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

48 సార్లు -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}ని గుణించండి.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

bకు -\frac{12b}{11}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{864}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

రెండు వైపులా -11తో గుణించండి.

$$b=160$$

k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}లో bను 160 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు kని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

-\frac{1}{44} సార్లు 160ని గుణించండి.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{40}{11}కు \frac{18}{11}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$k=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$k=-2,b=160$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

k మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$k=-2,b=160$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 48k+b=64ని 44k+b=72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

-bకు bని కూడండి. b మరియు -b విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$44k-48k=72-64$$

-48kకు 44kని కూడండి.

$$-4k=72-64$$

-64కు 72ని కూడండి.

$$-4k=8$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$k=-2$$

48k+b=64లో kను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

48 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$-96+b=64$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 96ని కూడండి.

$$b=160$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$k=-2,b=160$$