{l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.6} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{57}{35} = 1\frac{22}{35} = 1.6285714285714286$$

$$y=\frac{172}{35}-n$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+3y=18-n$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-3y+18-n$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3y+18-nని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x-y=5n+1.6.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.6$$

4 సార్లు -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}ని గుణించండి.

$$-6y+36-2n-y=5n+1.6$$

-yకు -6yని కూడండి.

$$-7y+36-2n=5n+1.6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 36-2nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7y=7n-34.4$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=\frac{172}{35}-n$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9లో yను -n+\frac{172}{35} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{172}{35}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

-\frac{3}{2} సార్లు -n+\frac{172}{35}ని గుణించండి.

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{258}{35}-\frac{n}{2}+9$$

\frac{3n}{2}-\frac{258}{35}కు 9-\frac{n}{2}ని కూడండి.

$$x=n+\frac{57}{35}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.6\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{57}{35}\\\frac{172}{35}-n\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.6\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+3.2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x-2y=10n+3.2ని 8x+12y=72-4n నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

2yకు 12yని కూడండి.

$$14y=72-4n-10n-3.2$$

-10n-3.2కు 72-4nని కూడండి.

$$14y=68.8-14n$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$y=\frac{172}{35}-n$$

4x-y=5n+1.6లో yను \frac{172}{35}-n స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-\left(\frac{172}{35}-n\right)=5n+1.6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -\frac{172}{35}+nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=4n+\frac{228}{35}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=n+\frac{57}{35}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$