{l}{2p+3m=8}{p+2m=6} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

p, mని పరిష్కరించండి

$$p=-2$$

$$m=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న pని వేరు చేయడం ద్వారా pని పరిష్కరించండి.

$$2p+3m=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3mని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2p=-3m+8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3m+8ని గుణించండి.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

మరొక సమీకరణములో pను -\frac{3m}{2}+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

2mకు -\frac{3m}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}m=2$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$m=4$$

p=-\frac{3}{2}m+4లో mను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు pని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

-\frac{3}{2} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$p=-6+4$$

-6కు 4ని కూడండి.

$$p=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$p=-2,m=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

p మరియు m మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$p=-2,m=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p మరియు pని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2p+4m=12ని 2p+3m=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

-2pకు 2pని కూడండి. 2p మరియు -2p విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3m-4m=8-12$$

-4mకు 3mని కూడండి.

$$-m=8-12$$

-12కు 8ని కూడండి.

$$-m=-4$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$m=4$$

p+2m=6లో mను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు pని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$p+2\times 4=6$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$p+8=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$p=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$p=-2,m=4$$