{l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x+2y-x+y=3$$

xని పొందడం కోసం 2x మరియు -xని జత చేయండి.

$$x+2y+y=3$$

3yని పొందడం కోసం 2y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+3y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+y-2x+2y=1$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-x+y+2y=1$$

3yని పొందడం కోసం y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$-x+3y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+3y=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-3y+3$$

మరొక సమీకరణములో xను -3y+3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+3y=1.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-1 సార్లు -3y+3ని గుణించండి.

$$3y-3+3y=1$$

3yకు 3yని కూడండి.

$$6y-3=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$6y=4$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-3y+3లో yను \frac{2}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

-3 సార్లు \frac{2}{3}ని గుణించండి.

$$x=-2+3$$

-2కు 3ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x+2y-x+y=3$$

xని పొందడం కోసం 2x మరియు -xని జత చేయండి.

$$x+2y+y=3$$

3yని పొందడం కోసం 2y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+3y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+y-2x+2y=1$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-x+y+2y=1$$

3yని పొందడం కోసం y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$-x+3y=1$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x+2y-x+y=3$$

xని పొందడం కోసం 2x మరియు -xని జత చేయండి.

$$x+2y+y=3$$

3yని పొందడం కోసం 2y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+3y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+y-2x+2y=1$$

-xని పొందడం కోసం x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-x+y+2y=1$$

3yని పొందడం కోసం y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$-x+3y=1$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+3y=1ని x+3y=3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

-3yకు 3yని కూడండి. 3y మరియు -3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x+x=3-1$$

xకు xని కూడండి.

$$2x=3-1$$

-1కు 3ని కూడండి.

$$2x=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=1$$

-x+3y=1లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-1+3y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$3y=2$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=\frac{2}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$