{l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$150y+200x=1000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 200xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$150y=-200x+1000$$

రెండు వైపులా 150తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150} సార్లు -200x+1000ని గుణించండి.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{-4x+20}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100 సార్లు \frac{-4x+20}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

400xకు -\frac{400x}{3}ని కూడండి.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2000}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{800}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{8}{3}కు \frac{20}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=4,x=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=4,x=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y మరియు 100yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 100తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 150తో గుణించండి.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15000y+60000x=180000ని 15000y+20000x=100000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

-15000yకు 15000yని కూడండి. 15000y మరియు -15000y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

-60000xకు 20000xని కూడండి.

$$-40000x=100000-180000$$

-180000కు 100000ని కూడండి.

$$-40000x=-80000$$

రెండు వైపులా -40000తో భాగించండి.

$$x=2$$

100y+400x=1200లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$100y+400\times 2=1200$$

400 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$100y+800=1200$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 800ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$100y=400$$

రెండు వైపులా 100తో భాగించండి.

$$y=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=4,x=2$$