{l}{-x+5y=15}{4x+10y=-2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$y = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15} \approx 1.933333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x+5y=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=-5y+15$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(-5y+15\right)$$

-1 సార్లు -5y+15ని గుణించండి.

$$x=5y-15$$

మరొక సమీకరణములో xను -15+5y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+10y=-2.

$$4\left(5y-15\right)+10y=-2$$

4 సార్లు -15+5yని గుణించండి.

$$20y-60+10y=-2$$

10yకు 20yని కూడండి.

$$30y-60=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 60ని కూడండి.

$$30y=58$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$y=\frac{29}{15}$$

x=5y-15లో yను \frac{29}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=5\times \frac{29}{15}-15$$

5 సార్లు \frac{29}{15}ని గుణించండి.

$$x=\frac{29}{3}-15$$

\frac{29}{3}కు -15ని కూడండి.

$$x=-\frac{16}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-10-5\times 4}&-\frac{5}{-10-5\times 4}\\-\frac{4}{-10-5\times 4}&-\frac{1}{-10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{30}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3}\\\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x+5y=15,4x+10y=-2$$

-x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$4\left(-1\right)x+4\times 5y=4\times 15,-4x-10y=-\left(-2\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x+20y=60,-4x-10y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x-10y=2ని -4x+20y=60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x+20y+10y=60-2$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$20y+10y=60-2$$

10yకు 20yని కూడండి.

$$30y=60-2$$

-2కు 60ని కూడండి.

$$30y=58$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$y=\frac{29}{15}$$

4x+10y=-2లో yను \frac{29}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+10\times \frac{29}{15}=-2$$

10 సార్లు \frac{29}{15}ని గుణించండి.

$$4x+\frac{58}{3}=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{58}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-\frac{64}{3}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{16}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{16}{3},y=\frac{29}{15}$$