{l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7yని పొందడం కోసం -2y మరియు -5yని జత చేయండి.

$$2x-7y=10x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8xని పొందడం కోసం 2x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$-8x-7y=-10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+3y+6=6$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=6-6$$

0ని పొందడం కోసం 6ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-8x-7y=-10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7yని కూడండి.

$$-8x=7y-10$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

-\frac{1}{8} సార్లు 7y-10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

2 సార్లు -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

3yకు -\frac{7y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-2$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

-\frac{7}{8} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{4}కు \frac{5}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7yని పొందడం కోసం -2y మరియు -5yని జత చేయండి.

$$2x-7y=10x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8xని పొందడం కోసం 2x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$-8x-7y=-10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+3y+6=6$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=6-6$$

0ని పొందడం కోసం 6ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7yని పొందడం కోసం -2y మరియు -5yని జత చేయండి.

$$2x-7y=10x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8xని పొందడం కోసం 2x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$-8x-7y=-10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+3y+6=6$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=6-6$$

0ని పొందడం కోసం 6ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

-8x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -16x-24y=0ని -16x-14y=-20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

16xకు -16xని కూడండి. -16x మరియు 16x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-14y+24y=-20$$

24yకు -14yని కూడండి.

$$10y=-20$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=-2$$

2x+3y=0లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

3 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$2x-6=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$2x=6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-2$$