{l}{x-3/4-y+1/2=-3}{3(2x-y)-2y=-21} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 4 } - \frac { y + 1 } { 2 } = - 3 } \\ { 3 ( 2 x - y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 4తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,2.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

y+1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-2y=-12$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-2y=-12+5$$

-7ని పొందడం కోసం -12 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-2y=-7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5yని పొందడం కోసం -3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$6x-5y=-21$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-2y=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$x=2y-7$$

మరొక సమీకరణములో xను 2y-7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-5y=-21.

$$6\left(2y-7\right)-5y=-21$$

6 సార్లు 2y-7ని గుణించండి.

$$12y-42-5y=-21$$

-5yకు 12yని కూడండి.

$$7y-42=-21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 42ని కూడండి.

$$7y=21$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$y=3$$

x=2y-7లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=2\times 3-7$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=6-7$$

6కు -7ని కూడండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 4తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,2.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

y+1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-2y=-12$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-2y=-12+5$$

-7ని పొందడం కోసం -12 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-2y=-7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5yని పొందడం కోసం -3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$6x-5y=-21$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-5-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-5-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\left(-7\right)+\frac{2}{7}\left(-21\right)\\-\frac{6}{7}\left(-7\right)+\frac{1}{7}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-1,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 4తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,2.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

y+1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-2y=-12$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-2y=-12+5$$

-7ని పొందడం కోసం -12 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-2y=-7$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5yని పొందడం కోసం -3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$6x-5y=-21$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-7\right),6x-5y=-21$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x-12y=-42,6x-5y=-21$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x-5y=-21ని 6x-12y=-42 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x-12y+5y=-42+21$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y+5y=-42+21$$

5yకు -12yని కూడండి.

$$-7y=-42+21$$

21కు -42ని కూడండి.

$$-7y=-21$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=3$$

6x-5y=-21లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-5\times 3=-21$$

-5 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$6x-15=-21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$6x=-6$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=3$$