{l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x-3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 12తో గుణించండి.

$$12x+y=24$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y+24$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 24+3yని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{2}+12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

12 సార్లు \frac{3y}{2}+12ని గుణించండి.

$$18y+144+y=24$$

yకు 18yని కూడండి.

$$19y+144=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 144ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$19y=-120$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$y=-\frac{120}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+12లో yను -\frac{120}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{2} సార్లు -\frac{120}{19}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

-\frac{180}{19}కు 12ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x-3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 12తో గుణించండి.

$$12x+y=24$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2x-3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 12తో గుణించండి.

$$12x+y=24$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x మరియు 12xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 12తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24x+2y=48ని 24x-36y=288 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

-24xకు 24xని కూడండి. 24x మరియు -24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-36y-2y=288-48$$

-2yకు -36yని కూడండి.

$$-38y=288-48$$

-48కు 288ని కూడండి.

$$-38y=240$$

రెండు వైపులా -38తో భాగించండి.

$$y=-\frac{120}{19}$$

12x+y=24లో yను -\frac{120}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{120}{19}ని కూడండి.

$$12x=\frac{576}{19}$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$x=\frac{48}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$